cinématique

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La cinématique

Comment exploite-t-on des phénomènes périodiques pour accéder à la mesure du temps ? Comment décrit-on le mouvement d'un solide ?
1. Comment les phénomènes périodiques servent-ils à la mesure du temps ?
Qu'est-ce qu'un phénomène périodique ?
Un phénomène est dit périodique s'il se répète identique à lui-même au bout d'un intervalle de temps identique, appelé période et noté T.
Le nombre de phénomènes par unité de temps est appelé la fréquence ; on la note f. Elle s'exprime en Hz (hertz).
D'où : f=\frac{1}{\mathrm T}
Exemples de phénomènes périodiques :
  • les marées sur Terre, qui font un peu moins de 12 heures ;
  • le rythme cardiaque.
Comment a évolué la définition de la seconde ?
Définition par rapport à la rotation propre de la Terre (début du xixe siècle)
La seconde est définie comme la 1/86 400 partie du jour solaire moyen. L'échelle de temps qui correspond à cette définition de la seconde est le Temps universel (échelle UT).
Le jour solaire vrai (temps séparant deux passages successifs du soleil au méridien du lieu considéré) varie selon la période de l'année à laquelle on se trouve, essentiellement du fait que la trajectoire de la Terre est une ellipse. De plus, la vitesse de la Terre autour du Soleil n'est pas rigoureusement constante. On fait ainsi la moyenne des jours sur l'année et on obtient un jour solaire moyen qui a une durée de 24 heures.
Cette définition est insuffisamment précise pour l'étude de certains phénomènes (rotation propre de la Terre, aviation). On peut aussi noter que la durée du jour augmente de 0,00164 seconde en moyenne par siècle, car les marées ralentissent légèrement la rotation de la Terre sur elle-même.
Définition par rapport à la révolution de la Terre autour du Soleil (1950 environ)
La seconde est définie comme 1/31 556 925,9747 de la durée de l'année tropique (durée séparant deux équinoxes de printemps successifs) 1900. Le temps correspondant est le « Temps des éphémérides » (TE). En moyenne, l'année tropique dure 365 jours 5 h 48 min 45,96 s, soit 365,242 217 jours.
Cette nouvelle échelle de temps avait une meilleure stabilité à long terme, mais cette définition est assez difficile à comprendre par des non-astronomes. De plus, le mouvement de révolution de la Terre a des irrégularités.
Définition par rapport à l'horloge atomique (1967)
La fréquence de transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 est, par définition, f = 9 192 631 770 Hz. La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133, au repos (à 0 K). Cette nouvelle définition de la seconde définit un nouveau temps, le « Temps atomique international » (TAI).
Cette définition a une exactitude de 2  ×  10 −14, soit un décalage d'une seconde tous les 1 500 000 ans. Le « Temps universel coordonné » (UTC) qui utilise la seconde du TAI, ajoute ou retranche une seconde à l'année soit le 31 décembre à 24 heures soit le 30 juin à 24 heures, de façon à ce qu'en valeur absolue, l'écart entre le Temps universel et le Temps universel coordonné soit toujours inférieur à 0,9 s.
1. Comment peut-on décrire le mouvement d'un point ?
Qu'est-ce que le centre d'inertie ?
Le point, noté G, du solide dont le mouvement est le plus simple est le centre d'inertie. Si la symétrie du solide est suffisante, il est possible de prévoir sans calcul la position de G.
Exemples :
  • le centre d'inertie d'une sphère homogène est le centre de la sphère ;
  • le centre d'inertie d'une plaque carrée d'épaisseur constante est le barycentre de la plaque.
Qu'est-ce qu'un système mécanique ?
Un système mécanique est le solide ou l'ensemble des solides dont on étudie le mouvement. Tout ce qui n'est pas le système étudié est appelé l'extérieur.
Exemples :
  • lors de l'étude de la chute du parachutiste, le système est le parachutiste ;
  • lors de l'étude du mouvement de la balle de tennis au cours d'un match, le système est la balle elle-même. (Attention : la raquette sera considérée comme l'extérieur.)
Qu'est-ce qu'un référentiel ?
Un objet peut être en mouvement par rapport à un observateur et immobile par rapport à un autre. Pour définir le mouvement d'un objet, il est nécessaire de préciser le référentiel d'étude et le repère de temps.
Un référentiel est le solide ou tout point du solide par rapport auquel on décrit le mouvement d'un mobile. Ce solide est muni d'un repère d'espace et d'un moyen pour mesurer le temps.
Exemples :
  • le référentiel terrestre lié à la Terre ou au sol ;
  • le référentiel géocentrique lié et centré sur la Terre ;
  • le référentiel héliocentrique lié et centré sur le Soleil.
Exercice n°1
Qu'est-ce qu'un repère d'espace et de temps ?
À un référentiel, on associe un repère d'espace : c'est un système d'axes muni d'une base constituée de 1, 2 ou 3 vecteurs unitaires et d'un point origine lié au référentiel. On choisit souvent un repère cartésien orthonormé muni de la base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) et du point origine O.
Pour définir la position d'un objet dans le temps, il est nécessaire de définir un repère de temps. Ce repère est constitué d'un instant ou d'une date origine t 0 (début de l'expérience ou de l'observation par exemple) et d'une unité de durée. Dans le système international (SI), l'unité de temps est la seconde (s).
Qu'est-ce que le vecteur position ?
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La cinématique - illustration 1
 
Tout point M de l'espace est alors repéré (dans le repère cartésien choisi), à une date  t, par le vecteur position : \overrightarrow{\mathrm {OM}}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}.
Chaque coordonnée du vecteur position dépend du temps, d'où la notation x(t), y(t) et z(t).
Dans un repère orthonormé, la distance (OM) est alors égale à :
| | \overrightarrow{\mathrm {OM}}| | =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Dans le système international (SI), elle s'exprime en mètre (m).
Qu'est-ce que le vecteur vitesse ?
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La cinématique - illustration 2
 
Entre les instants t et t + \Deltat, le mobile se déplace de \mathrm M en \mathrm M' suivant un vecteur déplacement \overrightarrow{\mathrm {MM'}} qui correspond à une variation du vecteur position :
\Delta\overrightarrow{\mathrm {OM}}=\overrightarrow{\mathrm {OM'}}-\overrightarrow{\mathrm {OM}}.
La vitesse instantanée est définie comme étant le taux de variation de la position par rapport au temps, pour une durée  t la plus petite possible :
\overrightarrow{v}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\overrightarrow{\mathrm {OM}}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{\mathrm {OM}}}{dt}.
\frac{\Delta\overrightarrow{\mathrm {OM}}}{\Delta t} représente la vitesse pour un intervalle de temps \Delta t petit. Le passage à la limite nous permet de définir la vitesse instantanée.
Le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Dans un repère fixe (\vec{i},\vec{j},\vec{k}): \vec{v}(t)=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dz}{dt}\vec{k}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}
La notation avec \dot{x}, \dot{y} et \dot{z} permet d'alléger l'écriture.
La valeur de la vitesse (appelée norme en mathématiques) est :
| | \vec{v}(t)| | =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}.
Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :
  • direction : la tangente à la trajectoire au point occupé par M à la date  t ;
  • sens : celui du mouvement à cet instant ;
  • intensité : la valeur positive | | \vec{v}(t)| | = v(t).
Dans le système international, elle s'exprime en mètre par seconde (\mathrm {m\cdot s^{-1}}).
Qu'est-ce que le vecteur accélération ?
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Construction du vecteur accélération en M3 :
  • tracer le vecteur vitesse en M2 ;
  • tracer le vecteur vitesse en M4 ;
  • reporter le vecteur vitesse opposée \overrightarrow{-v2} ;
  • tracer le vecteur variation de vitesse ;
  • le vecteur accélération en M3 est proportionnel à ce dernier vecteur.
La cinématique - illustration 3
 
L'accélération représente le taux de variation de la vitesse par rapport au temps, pour une durée \Delta t la plus petite possible. Le vecteur accélération est égal à la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au temps :
\overrightarrow{a}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^{2}\overrightarrow{\mathrm {OM}}}{dt^{2}} .
L'expression du vecteur accélération est donc \vec{a}(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\vec{i}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\vec{j}+\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\vec{k} .
De la même manière, on peut simplifier l'écriture tel que :
a_{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\ddot{x}; a_{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\ddot{y} et a_{z}=\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\ddot{z}
La valeur de l'accélération est : | | \vec{a}(t)| | =\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}}
Le vecteur accélération instantanée a les caractéristiques suivantes :
  • direction et sens : vers l'intérieur de la concavité de la trajectoire ;
  • intensité: la valeur positive | | \vec{a}(t)| | = a(t).
Son unité dans le système international est le mètre par seconde au carré (\mathrm {m\cdot s^{-2} }).
2. Quels sont les différents types de mouvement ?
Comment étudier un mouvement ?
Pour étudier les variations de la vitesse v en fonction du temps, on peut considérer celles de v^{2}=\overrightarrow{v} ^{2}. Or \frac{d(\overrightarrow{v})^{2}}{dt}=2\overrightarrow{v}\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}. Donc, étudier les variations de la vitesse v revient à étudier les variations de \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}.
On en déduit :
  • si\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}> 0, alors v augmente : le mouvement est accéléré ;
  • si\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}< 0, alors v diminue : le mouvement est retardé ;
  • si \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}= 0, alors v = cte : le mouvement est uniforme.
On parle de mouvement uniformément varié lorsqu'il est accéléré ou retardé. Exemples : une voiture qui démarre est en mouvement uniformément accéléré, au contraire une voiture qui ralentit est en mouvement uniformément retardé.
Qu'est-ce que le mouvement de translation d'un solide ?
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Translation rectiligne à l'instant t : \overrightarrow{v_\mathrm A}(t)=\overrightarrow{v_\mathrm B}(t)=\overrightarrow{v_\mathrm G}(t)
Ici, la valeur de la vitesse a diminué entre l'instant t et t', mais on a : \overrightarrow{v_\mathrm A}(t')=\overrightarrow{v_\mathrm B}(t')=\overrightarrow{v_\mathrm G}(t').
La cinématique - illustration 4
 
Un solide est animé d'un mouvement de translation lorsque tout segment joignant deux points quelconques de ce solide reste parallèle à lui-même, c'est-à-dire si, à chaque instant, tous ses points ont la même vitesse.
La translation est rectiligne si le vecteur vitesse garde une direction fixe.
La translation est uniforme si le vecteur vitesse garde une norme constante.
Le mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse a même direction, même sens et même intensité au cours du temps.
Le mouvement est rectiligne uniformément varié si le vecteur vitesse a même direction, même sens, mais une intensité qui change au cours du temps.
Exemples :
  • la nacelle d'une grande roue est en translation circulaire ;
  • un skieur qui dévale la piste est en mouvement rectiligne uniformément accéléré ;
  • un tapis roulant (dans le métro, dans un aéroport…) est en mouvement rectiligne uniforme.
Exercice n°2Exercice n°3Exercice n°4
Qu'est-ce que le mouvement circulaire ?
Mouvement circulaire
Un mouvement est circulaire lorsque tous les points de la trajectoire sont équidistants d'un point particulier. La droite qui passe par ce point et qui est perpendiculaire au plan de la trajectoire est appelée l'axe de rotation.
Caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération
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La cinématique - illustration 5
 
La vitesse instantanée linéaire est définie par v=\mathrm R\cdot \omega
v en m/s, R en m et \omega (vitesse de rotation instantanée ou vitesse angulaire) en \mathrm {rad\cdot s^{-1}}
Tous les points du solide ont la même vitesse de rotation à tout instant. Exemple : une voiture de course sur une piste circulaire réalise un mouvement circulaire.
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La cinématique - illustration 6
 
Ici \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}= 0, alors v  = cte : le mouvement est uniforme.
Pour traiter un mouvement circulaire, les coordonnées cartésiennes sont mal adaptées. On choisit alors deux axes qui tournent en même temps que le point matériel le long de la trajectoire. On utilise dans ce cas la base de Frenet qui est constituée :
  • d'un vecteur tangent à la trajectoire \overrightarrow{t} ;
  • d'un vecteur normal à la trajectoire \overrightarrow{n}.
Dans ce repère, les composantes de l'accélération sont : \overrightarrow{a}(a_{t},a_{n})=\left(\frac{dv}{dt},\frac{v^{2}}{r}\right), où r est le rayon de la trajectoire
Mouvement circulaire uniforme
Un mouvement de rotation est uniforme si \omega = constante. Le temps mis pour effectuer un tour est T la période de rotation du mouvement. On a :
\mathrm T=\frac{2\pi}{\omega} T en s,
\omega en \mathrm {rad\cdot s^{-1} }

Le nombre de tours parcouru, par un point du solide, pendant une seconde est appelé la fréquence :
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{\mathrm T} f en Hz,
T en s,
\omega en \mathrm {rad\cdot s^{-1}}

Dans un mouvement de rotation uniforme, \omega (vitesse angulaire) est constant et donc la vitesse linéaire v est aussi constante (en valeur). Mais le vecteur vitesse linéaire instantanée n'est pas constant.
Exercice n°5
Ce qui est attendu…
  • Savoir justifier l'évolution de la définition de la seconde.
  • Savoir choisir un référentiel pour une étude de mouvement.
  • Savoir comment calculer les coordonnées du vecteur vitesse à partir des coordonnées du vecteur position et les coordonnées du vecteur accélération à partir des coordonnées du vecteur vitesse.
  • Savoir définir et reconnaître les mouvements rectilignes uniformes et savoir que son accélération est nulle.
  • Savoir définir et reconnaître les mouvements rectilignes uniformément variés et donner les caractéristiques du vecteur accélération.
  • Savoir définir et reconnaître les mouvements circulaires uniformes et savoir que son accélération n'est pas nulle mais se décompose très simplement dans la base de Frenet.
  • Savoir définir et reconnaître les mouvements circulaires non uniformes et donner les caractéristiques du vecteur accélération.